向量构成的矩阵该向量组线性无关的条件

假设有 nn 个 mm 维向量 \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n，它们按列排列成一个 m\times nm×n 的矩阵 a=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n]。若 aa 中的向量组线性无关，则有以下两个等价条件：
aa 中每个向量都不能表示成其它向量的线性组合。
即对于 i=1,2,\cdots,ni=1,2,⋯,n，如果 \boldsymbol{v}_i 可以表示成其它向量的线性组合 \boldsymbol{v}_i=\sum_{j\neq i} a_j\boldsymbol{v}_j，则必须有 a_j=0aj=0，即 \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\cdots,\boldsymbol{v}_n 线性无关。
矩阵 aa 的秩等于 nn
即 \operatorname{rank}(a)=n，其中 \operatorname{rank}(a) 表示矩阵 aa 的秩，即 aa 的行向量或列向量线性无关的向量的最大个数。
综上所述，向量构成的矩阵该向量组线性无关的条件是：矩阵中每个向量都不能表示成其它向量的线性组合，或者说矩阵的秩等于向量的个数。